Question

已知椭圆

x2

|m|-2

+

y2

5-m

=1的离心率为

3

2

，求椭圆的短轴长．

Answer 1

分析：分类讨论，利用离心率为

3

2

，建立方程，求出m，即可求椭圆的短轴长．

解答：解：焦点在x轴上时，
（1）由

m≥0 |m|-2-(5-m) |m|-2 = 3 4

可得m=

22

5

，此时方程为

x2

12 5

+

y2

3 5

=1，∴2b=

2 15

5

；
（2）由

m＜0 |m|-2-(5-m) |m|-2 = 3 4

，无解；
焦点在y轴上时，
（3）由

m≥0 5-m-[|m|-2] 5-m = 3 4

可得m=

13

5

，此时方程为

y2

12 5

+

x2

3 5

=1，∴2b=

2 15

5

；
（4）由

m＜0 5-m-[|m|-2] 5-m = 3 4

，可得m=

13

3

，此时方程为

y2

28 3

+

x2

7 3

=1，∴2b=

2 21

5

，
综上：2b=

2 15

5

或

2 21

3

．

点评：本题考查椭圆的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．