Question

在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d（米）与车速v（千米/小时）需遵循的关系是d≥

1

2500

av2（其中a（米）是车身长，a为常量），同时规定d≥

a

2

．
（1）当d=

a

2

时，求机动车车速的变化范围；
（2）设机动车每小时流量Q=

1000v

a+d

，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大．

Answer 1

分析：（1）把d=

a

2

代入d≥

1

2500

av2，解这个关于v的不等式即可；
（2）根据d满足的不等式，以最小车距代替d，求此时Q的最值即可．

解答：解：（1）

a

2

=

1

2500

av²，v=25

2

，∴0＜v≤25

2

，（6分）
（2）当v≤25

2

时，Q=

1000v

3 2 a

，Q是v的一次函数，v=25

2

，Q最大为

50000 2

3a

，
当v＞25

2

时，Q=

1000

a( 1 v + v 25000 )

≤

25000

a

，
∴当v=50时Q最大为

25000

a

．（12分）

点评：本题考查函数建模和基本不等式的应用．本题中对车距d有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于25

2

时，两车之间的最小车距是

a

2

，当车速大于25

2

时，两车之间的最小车距是

1

2500

av2．