Question

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3。

（1）求证：AB⊥BC ；
（2）如果AB=BC=2，求AC与侧面PAC所成角的大小。

Answer 1

解：（1）取AC中点O，连结PO、BO ∵PA=PC　 ∴PO⊥AC　 又∵侧面PAC⊥底面ABC ∴PO⊥底面ABC 又PA=PB=PC　 ∴AO=BO=CO ∴△ABC为直角三角形　 ∴AB⊥BC。 （2）取BC的中点为M，连结OM，PM， 所以有OM=AB=，AO= ∴ 由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC， 由三垂线定理得PM⊥BC ∴平面POM⊥平面PBC， 又∵PO=OM= ∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON，NC 则ON⊥PM， 又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM， ∴ON⊥平面PBC ∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角 ∴ ∴ 故AC与平面PBC所成的角为。