题目内容

已知函数f（x）=1n（2-x）+ax在（0，1）内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若b＞1，求证：1n（b+2）+1nb（b+1）＞ $数学公式$ ．

解：（1）由已知得f′（x）= $\text{[math]}$ +a≥0在（0，1）内恒成立，即a≥- $\text{[math]}$ 在（0，1）内恒成立．
而- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 在（0，1）内的最大值为1，∴a≥1．
（2）∵b＞1，∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜1，又由（1）得当a=1时，
f（x）=1n（2-x）+x在（0，1）内为增函数，则 f（ $\text{[math]}$ ）＜f（ $\text{[math]}$ ），
∴ln （2- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ＜ln（2- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，
即 ln $\text{[math]}$ -ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴ln（b+2）+lnb-2ln（b+1）＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知得f′（x）= $\text{[math]}$ +a≥0 在（0，1）内恒成立，即a≥ $\text{[math]}$ 在（0，1）内恒成立，由此求得a的取值范围．
（2）由题意可得 0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜1，再由f（x）=1n（2-x）+x在（0，1）内为增函数，则 f（ $\text{[math]}$ ）＜f（ $\text{[math]}$ ），化简变形可得所证的结论．
点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，函数的单调性的应用，属于基础题．