Question

甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S_甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S_乙，试问r和R满足什么关系时，S_甲=S_乙？说明理由．

Answer 1

分析：设圆心是O，连接OD，设∠COD=α，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=r²sin2α，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值，同样的方法表示出四边形EFGH的面积，求出最值，进行比较．

解答：解：如图所示，S_ABCD=r²sin2α，α∈(0，

π

2

)…（3分）
当α=

π

4

时，S_甲=r²…（1分） 
S_EFGH=2R²sin2β   β∈(0，

π

2

)…（3分）
当β=

π

4

时，S_乙=2R²…（1分）
所以，r和R满足r²=2R²时，S_甲=S_乙…（1分）
即当r和R满足r²=2R²时，S_甲=S_乙．

点评：本题考查函数的模型的选择和应用，本题关键是如何利用角θ表示矩形的长与宽，合理地把长与宽表示出来，根据三角函数的性质求出最值．