Question

设函数f（x）=ax²+bx+在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）设函数g（x）=，若方程g（x）=m有三个不相等的实根，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直”，
则有，从而求解；
（Ⅱ）利用微积分基本定理来求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得到：，令，有x²-2x+=0，
则由其两根来构建单调区间求出极值，只需使m大于极小值且小于极大值即可．
解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0处取得极限值，故，从而b=0
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2，
即，有2a=2，从而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+，
联立直线与曲线方程得到x=-或x=1
故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
=
=；
（Ⅲ）=
令，得到
根据x₁，x₂列表，得到函数的极值和单调性

x
f（x）	+		-		+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数g（x）的极大值为 ，函数g（x）的极小值为 
∴
点评：本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．