Question

一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x²=2y，y∈[0，10]，在杯内放入一个清洁球，要求清洁球能擦净酒杯的最底部（如图），则清洁球的最大半径为

1

．

Answer 1

分析：设小球圆心（0，y₀） 抛物线上点（x，y），求得点到球心距离r平方的表达式，进而根据若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，需1-y₀≥0 进而求得r的范围．

解答：解：设小球圆心（0，y₀）
抛物线上点（x，y）
点到圆心距离平方为：
r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=y²+2（1-y₀）y+y₀²
若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以1-y₀≥0⇒y₀≤1，
所以0＜r≤1，从而清洁球的半径r的范围为 0＜r≤1
则清洁球的最大半径为 1
故答案为：1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、抛物线的应用、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查解决实际问题的能力、化归与转化思想．属于基础题．