题目内容

已知数列{}的首项=5，前项和为，且

（I）证明数列{+1}是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数并比较2与的大小.

解：（Ⅰ）由已知

∴时，

两式相减，得

，

即，

从而，

当时

∴

又，∴，

从而     

故总有，、

又∵，

∴

从而

即是以为首项，2为公比的等比数列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

从而    

=

=

=

=

=。

由上  

      （*）

当时，（*）式=0

∴；

当时，（*）式=－12<0

∴

当时，

又

∴

即（*）>0

从而

（或用数学归纳法：时，猜想   

由于，只要证明。事实上，

      1*     当 时，

      不等式成立，

      2*  设时（k≥3），有

      则   

           

            .

∵ ，∴.

从而

          

即 时，亦有.

综上1*、2*知，  对，n∈N* 都成立。

∴时，有）

综上    n=1时，

        n=2时，

        n≥3时，

练习册系列答案
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阅读下面一段文字：已知数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1=2，则易知通项an=2n-1，前n项的和Sn=n2．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证Sn＞n2，可以先证an＞2n-1，而要证an＞2n-1，只需证an-an-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x3+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），若数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn≥2n-1．
已知数列{an}的首项a1=a，an=
12
an-1（n∈N*，n≥2），若bn=an-2（n∈N*）
（I）问数列{bn}是否构成等比数列？并说明理由．
（II）若已知a1=1，设数列{an•bn}的前n项和为Sn，求Sn．
已知数列{an}的首项a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）设bn=
1
an
-1证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）数列{
n
bn
}的前n项和Sn．
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，
且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）．
已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，an+1=
an
3
，an=3l，l∈N*
an+1，an≠3l，l∈N*
，令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（1）若a3是数列{an}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（2）求证：对?k∈N*，恒有ak+3≤
1
3
ak+2成立；
（3）求证：{1，2，3}⊆A．

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