Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，只要证明a_n+1+1=2（a_n+1），从而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）根据数列的通项公式得

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，，n，再对其进行适当的放缩即可．

解答：解：（I）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a_n+1=2ⁿ．
即a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（II）证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

．
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3.2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

.

1

2k

，k=1，2，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

点评：由数列的递推公式，通过构造新的等比数列求数列的通项公式，是常考知识点，特别注意新数列的首项，裂项求和是常考数列求和的方法，并通过放缩法证明不等式．此题非常好，很典型．