Question

已知x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x+b的一个极值点，（a，b∈R）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y=f（x）有3个不同的零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数f′（x），由f'（4）=0求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，由f′（x）=0，求得极值点的横坐标，再根据导数的符号
求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）的极大值为f（2），极小值为f（4），故当且仅当f（4）＜0＜f（2），y=f（x）
有三个零点，由此求得b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

+2x-12，（x＞0），…2’
由已知f'（4）=0得，

a

4

+8-12=0，解得a=16．…4’
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，x∈（0，+∞），
令 f′(x)=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

=0，解得 x=2或 x=4．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，4）时，f′（x）＜0；x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞）；f（x）的单调减区间是（2，4）．…8’
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
且当x=2或x=4时，f′（x）=0．
所以f（x）的极大值为f（2）=16ln2-20+b，极小值为f（4）=32ln2-32+b．…10’
当且仅当f（4）＜0＜f（2），y=f（x）有三个零点．…12’
由 32ln2-32+b＜0＜16ln2-20+b，解得 20-16ln2＜b＜32-32ln2，
所以，b的取值范围为（20-16ln2，32-32ln2）．…14’

点评：本题主要考查函数在某一点取得机制的条件，利用导数研究函数的单调性，方程的根的存在性及个数判断，属于中档题．