Question

已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0)时，恒有xf′(x)<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是                                                                      (　　)

A．(－1,2)                         B．(－1，)

C．(，2)                         D．(－2,1)

Answer 1

A

解析　f(x)是奇函数，且x∈(－∞，0]时，xf′(x)<f(－x)．

∴xf′(x)<－f(x)，即xf′(x)＋f(x)<0.

又F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0.

∴F(x)在(－∞，0]上是减函数．

又F(－x)＝－xf(－x)＝－x[－f(x)]＝xf(x)＝F(x)，

∴F(x)是偶函数．

∴F(x)在[0，＋∞)上增函数．

由F(3)>F(2x－1)，得F(3)>F(|2x－1|)．

∴3>|2x－1|即－1<x<2.