Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB=4米，AD=3米，设AN的长为x米（x＞3）．
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

分析：（1）求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；
（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．

解答：解：设AN的长为x米（x＞3）
∵ABCD是矩形，∴

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

4x

x-3

∴S_AMPN=|AN|•|AM|=

4x2

x-3

 （x＞3）----------（4分）
（1）由S_AMPN＞54，得 

4x2

x-3

＞54，
∵x＞3，∴（2x-9）（x-9）＞0
∴3＜x＜

9

2

或x＞9
∴AN长的取值范围是(3，

9

2

)∪(9，+∞）-----------（8分）
（2）令y=

4x2

x-3

，令t=x-3（t＞0）），则x=t+3----------（10分）
∴y=

4(t+3)2

t

=4(t+

9

t

+6)≥48
当且仅当t=

9

t

（t＞0），即t=3时取等号．----------（14分）
此时AN=6，AM=8，最小面积为48平方米．----------（16分）

点评：本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．