Question

函数f（x）=x²（e^x-1+ax+b），已知x=-2和x=1为y=f′（x）的零点．
（1）求a和b的值；
（2）设g（x）=

2

3

x3-x2，证明：对?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²（e^x-1+ax+b），知f′（x）=2x（e^x-1+ax+b）+x²（e^x-1+a），由x=-2和x=1为y=f′（x）的零点，解得a=-

1

3

，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=x²（e^x-1-

1

3

x-1），由g（x）=

2

3

x3-x2，知f（x）-g（x）=x²（e^x-1-

1

3

x-1）-（

2

3

x3-x2）=x²•e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），由此能够证明对?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．

解答：解：（1）∵f（x）=x²（e^x-1+ax+b），
∴f′（x）=2x（e^x-1+ax+b）+x²（e^x-1+a），
∵x=-2和x=1为y=f′（x）的零点，
∴

-4(e-3-2a+b)+4(e-3+a)=0 2(1+a+b)+(1+a)=0

，
解得a=-

1

3

，b=-1．
（2）由（1）知f（x）=x²（e^x-1-

1

3

x-1），
∵g（x）=

2

3

x3-x2，
∴f（x）-g（x）=x²（e^x-1-

1

3

x-1）-（

2

3

x3-x2）
=x²•e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
设g（x）=e^x-1-x
则g′（x）=e^x-1-1，
当x＞1时，g′（x）＞0
g（x）增，g（x）＞g（1）=0
故x＞1时，e^x-1＞x
0＜x≤1时，e^x-1≥x，
x≤0时，e^x-1＞0≥x
综上，总有e^x-1≥x，
∵x²≥0，
∴对?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）≥0．

点评：本题考查参数值的求法和证明不等式，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．