Question

设函数f（x）=

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x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0处取得极值-1．
（1）设点A（-a，f（-a）），求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
（2）若过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求a的取值范围；
（3）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）处的切线都过点（0，0），证明：f′（x₁）≠f′（x₂）．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由函数f（x）=

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x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0处取得极值-1，则f^′（0）=0，f（0）=-1，由此可得b和c的值，然后设出切点坐标，写出切线方程，把A点的坐标代入切线方程即可求得切点坐标，从而说明过点A的切线有且只有一条并求出该切线方程；
（2）根据过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求出过（0，0）的切线方程方程得

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x03+ax02+1=0，说明该方程应有三个不同的实数根，利用导函数求出该方程对应函数的极值，则其极大值要大于0，极小值要小于0，由此列式可求a的取值范围；
（3）利用反证法，假设f′(x1)=f′(x2)，代入整理后可得x₁+x₂=-2a．再由（2）可得

2 3 x13+ax12+1=0 2 3 x23+ax22+1=0

，两式作差后得到

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(x22+x1x2+x12)+a(x1+x2)=0．把x₁+x₂=-2a代入可得x1x2=a2，而利用基本不等式得到x1x2＜a2，从而得到矛盾，说明假设错误，得到要证的结论正确．

解答：（1）证明：由f（x）=

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x³+ax²+bx+c（a＜0），得：f^′（x）=x²+2ax+b，
由题意可得f^′（0）=0，f（0）=-1，解得b=0，c=-1．
∴f(x)=

1

3

x3+ax2-1．
经检验，f（x）在x=0处取得极大值．
设切点为（x₀，y₀），则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)
即为y=(x02+2ax0)x-

2

3

x03-ax02-1
把（-a，f（-a））代入方程可得x03+3ax02+3a2x0+a3=0，
即(x0+a)3=0，所以x₀=-a．
即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．
所以切线方程为a2x+y+

1

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a3+1=0；
（2）解：因为切线方程为y=(x02+2ax0)x-

2

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x03-ax02-1，
把（0，0）代入可得

2

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x03+ax02+1=0，
因为有三条切线，故方程得

2

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x03+ax02+1=0有三个不同的实根．
设g(x)=

2

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x3+ax2+1（a＜0）
g^′（x）=2x+2ax，令g^′（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=-a．
当x∈（-∞，0）时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（0，-a）时，g^′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（-a，+∞）时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数，
所以，当x=0时函数g（x）取得极大值为g（0）=1＞0．
当x=-a时函数g（x）取得极小值，
极小值为g(-a)=

2

3

×(-a)3+a•(-a)2+1=

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3

a3+1．
因为方程有三个根，故极小值小于零，

1

3

a3+1＜0，所以a＜-

3	3

．
（3）证明：假设f′(x1)=f′(x2)，则x12+2ax1=x22+2ax2，
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-2a（x₁-x₂）
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂=-2a．
由（2）可得

2 3 x13+ax12+1=0 2 3 x23+ax22+1=0

，两式相减可得

2

3

(x23-x13)+a(x22-x12)=0．
因为x₁≠x₂，故

2

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(x22+x1x2+x12)+a(x1+x2)=0．
把x₁+x₂=-2a代入上式可得，x22+x1x2+x12=3a2，
所以(x1+x2)2-x1x2=3a2，(-2a)2-x1x2=3a2．
所以x1x2=a2．
又由x1x2＜(

x1+x2

2

)2=(

-2a

2

)2=a2，这与x1x2=a2矛盾．
所以假设不成立，即证得f′(x1)≠f′(x2)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数的零点与函数的极值点间的关系，训练了反证法，此题综合性较强，属于有一定难度的题目．