Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-2cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域及最小正周期；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=

2π

w

可求出最小正周期，值域为[-A+b，A+b]
（2）将2x-

π

6

看做一个整体，根据正弦函数的性质可得2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，进而求出x的范围，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-(cos2x+1)
=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)-1
=2sin(2x-

π

6

)-1.
由-1≤sin(2x-

π

6

)≤1，得-3≤2sin(2x-

π

6

)≤1.
可知函数f（x）的值域为[-3，1]．
T=

2π

2

=π，即函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）f（x）=2sin(2x-

π

6

)-1.
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z).
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z).

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题．