Question

（示范高中）如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=75°，∠NPQ=45°，∠MQP=30°，∠MQN=45°，试求两个目标物M，N之间的距离．

Answer 1

分析：在△MPQ和△NPQ中，利用正弦定理分别求MQ、NQ；在△MQN中，利用余弦定理可求两个目标物M、N之间的距离．

解答：解：根据题意，知|PQ|=40，∠PMQ=30°，∠PNQ=60°
在△MPQ中，由正弦定理，得   

|MQ|

sin∠MPQ

=

|PQ|

sin∠PMQ

即    |MQ|=

|PQ|sin∠MPQ

sin∠PMQ

=

40sin120°

sin30°

=40

3

…（4分）
在△NPQ中，由正弦定理，得   

|NQ|

sin∠NPQ

=

|PQ|

sin∠PNQ

即   |NQ|=

|PQ|sin∠NPQ

sin∠PNQ

=

40sin45°

sin60°

=

40 6

3

…（8分）
在△MQN中，由余弦定理，知|MN|²=|MQ|²+|NQ|²-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故        |MN|2=4800+

3200

3

-2×40

3

×

40 6

3

×cos45°=

8000

3

从而      |MN|=

40 15

3

…（12分）
故两个目标物M、N之间的距离是

40 15

3

米

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生综合分析问题和解决实际问题的能力，属于中档题．