Question

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点，设切线AP、AQ的斜率分别为k₁和k₂．
（Ⅰ）求证：k₁k₂=-4；
（Ⅱ）求证：直线PQ恒过定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出切线的方程代入抛物线，消去y可得x²-kx+（ka+1）=0，利用判别式等于0，即可证得结论；
（Ⅱ）确定切线AP、AQ的方程，从而可得直线PQ的方程，即可得到直线PQ过定点．

解答：证明：（Ⅰ）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a），代入抛物线，消去y可得x²-kx+（ka+1）=0
∴△=k²-4（ka+1）=k²-4ak-4=0
∴k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，∴k₁k₂=-4
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1），∴y₁=2x₁a+2，
同理y₂=2x₂a+2
∴直线PQ的方程是y=2ax+2，
∴直线PQ过定点（0，2）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．注意设而不求方法的运用．