题目内容
定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）•f（x）=3，且f（-1）=2，则f（2013）=
．
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
分析：根据f（x+2）•f（x）=3，可以确定出函数f（x）的周期，再利用周期将2013和恒等式进行转化，再利用f（-1）=2，即可求得f（2013）的值．
解答：解：∵f（x+2）•f（x）=3，
∴f（x+2）=
，
将x代换为x+2，则有f（x+4）=
=f（x），
∴f（x）为周期函数，周期为4，
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵f（x+2）=
，
令x=-1，则f（1）=
，
∵f（-1）=2，
∴f（1）=
=
，
∴f（1）=
．
故答案为：
．
∴f（x+2）=
| 3 |
| f(x) |
将x代换为x+2，则有f（x+4）=
| 3 |
| f(x+2) |
∴f（x）为周期函数，周期为4，
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵f（x+2）=
| 3 |
| f(x) |
令x=-1，则f（1）=
| 3 |
| f(-1) |
∵f（-1）=2，
∴f（1）=
| 3 |
| f(-1) |
| 3 |
| 2 |
∴f（1）=
| 3 |
| 2 |
故答案为：
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数的求值问题．主要考查了函数的性质的应用，要能够根据所给的恒等式求出周期，解题的关键是利用周期把所求的函数值转化到已知函数值上．考查了运算化简的能力．属于中档题．
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