如图所示.某镇有一块空地△OAB.其中OA=3km.OB=3$\sqrt{3}$km.∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点.拟在中间挖一个人工湖△OMN.其中M.N都在边A.B上.且∠MON=30°.挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山.剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见.需在△OAN的一周安装防护网．(1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3$\sqrt{3}$km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边A，B上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网．
（1）当AM=$\frac{3}{2}$km时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的$\sqrt{3}$倍，试确定∠AOM的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN 的面积最小？最小面积是多少？

分析（1）证明△OAN为正三角形，可得△OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km；
（2）利用△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的$\sqrt{3}$倍，建立方程，求出ON=6$\sqrt{3}$sinθ，由$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin（θ+60°+30°）}$=$\frac{3}{cosθ}$，得ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，即可求出∠AOM的大小；
（3）表示出△OMN 的面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论．

解答解：（1）在△OAB中，因为OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°，
在△AOM中，OA=3，AM=$\frac{3}{2}$，∠OAM=60°，
由余弦定理，得OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，…（2分）
所以OM²+AM²=OA²，即OM⊥AN，所以∠AOM=30°，
所以△OAN为正三角形，所以△OAN的周长为9，即防护网的总长度为9km．…（4分）
（2）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），
因为△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的$\sqrt{3}$倍，
所以$\frac{1}{2}ON•OM$sin30°=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$OA•OMsinθ，即ON=6$\sqrt{3}$sinθ，…（6分）
在△OAN中，由$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin（θ+60°+30°）}$=$\frac{3}{cosθ}$，得ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，…（8分）
从而6$\sqrt{3}$sinθ=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，即sin2θ=$\frac{1}{2}$，
由0°＜2θ＜120°，
得2θ=30°，所以θ=15°，即∠AOM=15°．…（10分）
（3）设∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），由（2）知ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
又在△AOM中，由$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin（θ+60°）}$，得OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（θ+60°）}$，…（12分）
所以S_△OMN=$\frac{1}{2}OM•ON•sin30°$=$\frac{27}{16sin（θ+60°）cosθ}$=$\frac{27}{8sin（2θ+60°）+4\sqrt{3}}$，…（14分）
所以当且仅当2θ+60°=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为$\frac{27（2-\sqrt{3}）}{4}$km²．…（16分）