题目内容

已知二次函数f（x）的图象过点（0，2），且f′（x）=-2x+2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的图象与直线y=2围成的封闭图形的面积．
分析：（1）设出二次函数的解析式，将已知条件转化为系数满足的方程，求出系数即得f（x）的解析式．
（2）求出f（x）与y=2的交点坐标，将曲边图象的面积用定积分不是，利用微积分基本定理求出值．
解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
则f'（x）=2ax+b=-2x+2，
故
2a=-2
b=2
，即
a=-1
b=2

又f（0）=c=2，故f（x）的解析式为f（x）=-x2+2x+2．
（2）令-x2+2x+2=2，解得x=0或x=2，
所以f（x）的图象与直线y=2交于点（0，2）和点（2，2）．
记所求的面积为S，
则S=
∫
2
0
[(-x2+2x+2)-2]dx=
∫
2
0
(-x2+2x)dx=
(-
1
3
x3+x2)|
2
0
=
4
3
．
点评：求函数模型已知的函数的解析式一般用待定系数法；求曲边图象的面积时用定积分解．
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
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f(x)x-1
．
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