Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点

(Ⅰ)求证：BM∥平面PAD；

(Ⅱ)求直线PC到平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

解:(Ⅰ)∵M是PC的中点，取PD的中点E，则

MECD  ABCD

∴四边形ABME为平行四边形

∴BM∥EA，EM平面PAD

EA平面PAD   ∴BM∥平面PAD 

(Ⅱ)以A为原点，以AB、AD、AP所在的自线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)、C(2，2，0)、D(0，2，0)、P(0，0，2)．

设平面PBD法向量为n=(x,y,z)  又=(-1,2,0),=(-1,0,2)

∵n·=0，n·=0

∴  ∴

令设x=2得平面PBD一个法向量n=(2，1，1)

∴sinθ=

故直线PC与平面PBD所成角正弦为