题目内容

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn=
an
3n
的前n项和为Tn，求证Tn＜
5
4
．
分析：（1）利用S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，确定两个方程，即可求{an}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
解答：（1）解：设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，
又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），
∴an=a2+（n-2）d=3n-2；----------------------（6分）
（2）证明：bn=
an
3n
=（3n-2）•
1
3n
，
∴Tn=1×
1
3
+4×
1
32
+…+（3n-2）•
1
3n
，①
∴
1
3
Tn=1×
1
32
+4×
1
33
+…+（3n-5）•
1
3n
+（3n-2）•
1
3n+1
，②
①-②得，
2
3
Tn=
1
3
+3×
1
32
+3×
1
33
+…+3•
1
3n
-（3n-2）•
1
3n+1
=
5
6
-
1
2
•
1
3n-1
-（3n-2）•
1
3n+1

∴Tn=
5
4
-
6n+5
4
×
1
3n
＜
5
4
．-------------------------（12分）
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确求和是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知正项等差数列{an}的前20项和为100，则a5•a16的最大值是（　　）
A、100B、75C、25D、50
已知正项等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为（　　）
A、75B、100C、50D、25
已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
满足：
OA
=α
OB
+β
OC
+γ
OD
(α，β，γ∈R)，B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
①若α=
3
2
，β=
1
2
，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
②当α＞0，β＞0，γ=
2
时，若|
OA
|=
3
，|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=1，＜
OB
，
OC
＞=
5π
6
，＜
OD
，
OB
＞=＜
OD
，
OC
＞=
π
2
，则α+β的最大值为
6
-
2
；
③已知正项等差数列an（n∈N*），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
1
a3
+
4
a2008
的最小值为9；
④若α+β=1（αβ≠0），γ=0，则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比λ一定为
α
β
．
其中你认为正确的所有命题的序号是
 
．
已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，其中都是数列{an}中满足ah-ak=ak-am的任意项．
（I）证明：m+h=2k；
（II）证明：Sm•Sh≤Sk2；
（III）若
Sm
、
Sk
、
Sh
也在等差数列，且a1=a，求数列的前n项和．
（2011•成都一模）已知非零向量
OA
、
OB
、
OC
、
OD
满足：
OA
=α
OB
Z+β
OC
Z+γ
OD
Z（α，β，γ∈R），B、C、D为不共线三点，给出下列命题：
①若α=
3
2
，β=
1
2
，γ=-1，则A、B、C、D四点在同一平面上；
②若α=β=γ=1，|
OB
Z|+|
OC
|+|
OD
|=1，＜
OB
，
OD
＞=＜
OC
，
OD
＞=
π
2
，＜
OB
，
OC
＞=
π
3
，则|
OA
|=2；
③已知正项等差数列{an}（n∈N*Z），若α=a2，β=a2009，γ=0，且A、B、C三点共线，但O点不在直线BC上，则
1
a3
+
4
a2008
的最小值为10；
④若α=
4
3
，β=-
1
3
Z，γ=0，则A、B、C三点共线且A分
BC
所成的比λ一定为-4
其中你认为正确的所有命题的序号是
①②
①②
．

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