Question

已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd＞1.求证:a、b、c、d中至少有一个是负数.

Answer 1

解析:本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数,是具体有一个负数,两个负数,三个负数,还是四个负数?都有可能,谁是负数也都有可能.所以正面证明很复杂,对于“至多”“至少”性问题可用反证法.

证明:假设a、b、c、d都不是负数,

即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.

∵a+b=c+d=1,

∴b=1-a≥0,d=1-c≥0.

∴ac+bd=ac+(1-a)(1-c)

=2ac-(a+c)+1

=(ac-a)+(ac-c)+1

=a(c-1)+c(a-1)+1.

∵a(c-1)≤0,c(a-1)≤0,

∴a(c-1)+c(a-1)+1≤1,即ac+bd≤1.

与ac+bd＞1相矛盾.

∴假设不成立.

∴a、b、c、d中至少有一个是负数.