Question

设函数f（x）=x³-ax+b．
（Ⅰ）当a=1，b=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当b=2时，若f（x）≥0对任意的x∈[0，+∞]都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）≥0对任意的x∈[0，2]均成立，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1，b=2时，可得f（x），f′（x），而切线斜率k=f′（1），易求f（1），从而可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）分x=0，x＞0两种情况讨论：x=0时，x³-ax+2≥0成立，此时a∈R；当x＞0时可分离出参数a后转化为求函数的最值解决，利用导数可求得函数的最值，求得a的范围；两者取交集可得结论；
（Ⅲ）f（x）≥0对任意的x∈[0，2]均成立，等价于f（x）_min≥0，分a≤0，0＜a＜12，a≥12三种情况讨论，利用导数可求得f（x）_min，由f（x）_min≥0可得b的不等式，进而可求得a-b的范围，得到其最大值；

解答：解：（Ⅰ）当a=1，b=2时，f（x）=x³-x+2，f′（x）=3x²-1，
则切线斜率k=f′（1）=2，
f（1）=1-1+2=2，则切点为（1，2），
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x；
（Ⅱ）当b=2时，f（x）≥0对任意的x∈[0，+∞]都成立，即x³-ax+2≥0在[0，+∞）上恒成立，
（1）当x=0时，x³-ax+2≥0成立，此时a∈R；
（2）当x＞0时，x³-ax+2≥0恒成立化为a≤x²+

2

x

恒成立，等价于a≤(x2+

2

x

)min，
设g（x）=x²+

2

x

，则g′（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
当0＜x＜1时g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1+∞）上递增，
∴g（x）_min=g（1）=3，
∴a≤3；
综上所述，可得a≤3；
（3）f（x）≥0对任意的x∈[0，2]均成立，等价于f（x）_min≥0，
f′（x）=3x²-a，
①当a≤0时，f（x）在[0，2]上递增，
f（x）_min=f（0）=b≥0，
∴a-b≤0；
②当0＜a＜12时，若0≤x＜

a 3

，f′（x）＜0，f（x）在[0，

a 3

]上递减，若

a 3

＜x≤2，f′（x）＞0，f（x）在[

a 3

，2]上递增，
∴f(x)min=f(

a 3

)=-

2a

3

a 3

+b≥0，
∴a-b≤a-

2a

3

a 3

，
令

a 3

=t（0＜t＜2），则a-

2a

3

a 3

=3t²-2t³，
设h（t）=3t²-2t³，h′（t）=6t-6t²，
∴h（t）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，
h（t）_min=h（1）=1，
∴a-b最大值是1；
③当a≥12时，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上递减，
∴f（x）_min=f（2）=8-2a+b≥0，
则2a-b≤8，
∴a-b≤8-a≤-4，
∴a-b≤-4；
综上所述，a-b的最大值是1．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性较强，难度较大．