题目内容

已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.

解:由题意f(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,

则f′(x)=-3x2+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上为增函数,则在(-1,1)上有f′(x)≥0.

方法一:即-3x2+2x+t≥0.

即t≥3x2-2x在(-1,1)上恒成立.

∵g(x)=3x2-2x的对称轴为x=,

∴g(x)＜g(-1)=5.

故t≥5为所求.

方法二:∵f′(x)=-3x2+2x+t是在(-1,1)上的连续函数且是开口向下的抛物线,

∴t≥5.

练习册系列答案
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已知向量
a
=(x2-3，1)，
b
=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有
a
⊥
b
，当|x|≥2时，
a
∥
b
．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围．
已知向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，若函数f（x）=
a
•
b
在区间（-1，1）上是增函数，t的取值范围是（　　）
A、[0，+∝]
B、[0，13]
C、[5，∝]
D、[5，13]
（2008•杨浦区二模）（理）已知向量
a
=(x2+1，-x)，
b
=(1，2
n2+1
) （n为正整数），函数f(x)=
a 
• 
b 
，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn•（4an2-5）=1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求
lim
n→∞
Sn；
（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、An（n，an）、…中是否存在两点Ai，Aj（i，j为正整数）使直线AiAj的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．
（2008•杨浦区二模）（文）已知向量
a
=(x2+1，-x)，
b
=(1，2
n2+1
) （n为正整数），函数f(x)=
a 
• 
b 
，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，其中bn=an+12-an2，设Sn为数列{bn}的前n项和，求
lim
n→∞
Sn
C
2
n
；
（3）已知点列A1（1，a12）、A2（2，a22）、A3（3，a32）、…、An（n，an2）、…，设过任意两点Ai，Aj（i，j为正整数）的直线斜率为kij，当i=2008，j=2010时，求直线AiAj的斜率．
已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t).若函数f(x)=a·b在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围.

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