Question

[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵M=

1 c

b 2

有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量

e1

=

2 3

，求曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程．

Answer 1

分析：由矩阵M=

1 b c 2

有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量

e1

=

2 3

，可得

1 b c 2

2 3

=

8 12

，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩阵M；再设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点为P′（x′，y′），利用矩阵变换得出两点坐标的关系式，代入曲线5x²+8xy+4y²=1后化简可得曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程．

解答：解：由题意得

1 b c 2

2 3

=

8 12

，
即2+3b=8，2c+6=12，
解得b=2，c=3，
所以M=

1 2 3 3

．设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点P′（x′，y′），
则

x′ y′

=

1 2 3 2

x y

，即

x′=x+2y y′=3x+2y

，解之得

x= y′-x′ 2 y= 3x′-y/ 4

，
代入5x²+8xy+4y²=1，得x′²+y′²=2．
即曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程是x²+y²=2．…（10分）

点评：本题考查的知识点是特征值与特征向量的计算，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键．