Question

（2008•河西区三模）已知函数f（x）=x-a

x2+1

（其中a为常数）
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，再求在x=1处的导数得到切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程即可；
（2）要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，然后利用参变量分离进行求解即可．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=x-

x2+1

f′(x)=1-

x

x2+1

（2分）k=f′(1)=1-

1

2

=1-

2

2

（3分）   又f(1)=1-

2

∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-(1-

2

)=(1-

2

2

)(x-1)
即y=(1-

2

2

)x-

2

2

（5分）
（2）f′(x)=1-

ax

x2+1

要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

＞0在（0，1]上恒成立（6分）
即a＜

x2+1

x

在（0，1]上恒成立（7分）
因为

x2+1

x

=

1+ 1 x2

在（0，1]上单调递减（8分）
而

1+ 1 x2

在（0，1]上的最小值为

2

∴a＜

2

（10分）
又当a=

2

时，f′(x)=1-

2 x

x2+1

在（0，1）上大于0，仅f'（1）=0
故f（x）在（0，1]上也是增函数，综上得a≤

2

（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．