Question

已知函数f(x)=

x

1+x2

．
（1）求f（-x）+f（x）；
（2）判断f（x）在区间（-1，0）上的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

x

1+x2

，求出f（-x），即可求得f（-x）+f（x）=0．
（2）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x

1+x2

，∴f(-x)=

-x

1+x2

，∴f（-x）+f（x）=0．
（2）f（x）在区间（-1，0）上是增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x2)2

=

(x1-x2 )+x1x2(x2-x1)

(1+x12)(1+x2)2

=

(x1-x2 )•(1-x1x2)

(1+x12)(1+x2)2

．
由-1＜x₁＜x₂＜0可得 x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，∴

(x1-x2 )•(1-x1x2)

(1+x12)(1+x2)2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在区间（-1，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于中档题．