Question

【题目】已知.

（1）若，求的取值范围；

（2）若，的图像与轴围成的封闭图形面积为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）a≤－1（2）4＋8．

【解析】

（1）由绝对值三角不等式求的最小值即可求解；（2）去绝对值化简f(x)，得到与轴围成的封闭图形为等腰梯形，再利用梯形面积公式及基本不等式求解即可

（1）因为|ax＋1|＋|ax－1|≥|(ax＋1)－(ax－1)|＝2，

等号当且仅当(ax＋1)(ax－1)≤0时成立，

所以f(x)的最小值为2－2a－4＝－2a－2．

依题意可得，－2a－2≥0，

所以a≤－1．

（2）因为a＞0，f(x)＝|ax＋1|＋|ax－1|－2a－4，

所以f(x)＝

所以y＝f(x)的图像与x轴围成的封闭图形为等腰梯形ABCD，如图所示

且顶点为A(－1－，0)，B(1＋，0)，C(，－2a－2)，D(－，－2a－2)

从而S＝2(1＋)(a＋1)＝2(a＋)＋8．

因为a＋≥2，等号当且仅当a＝时成立，

所以当a＝时，S取得最小值4＋8．