Question

（2013•兰州一模）已知函数f（x）=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若1≤x≤e时，2[f（x）-2ex]+

a

6e2

[2g(x)+e2]≤(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同，建立方程组，即可求实数b的值；
（Ⅱ）由1≤x≤e时，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立，分离参数，求最值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x+2e，g′(x)=

3e2

x

，
设f(x)=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的公共点为（x₀，y₀），
则有

1 2 x02+2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0 x0＞0.

…（3分）
解得b=-

e2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=3e2lnx-

e2

2

，
所以2[f(x)-2ex]+

a

6e2

[2g(x)+e2]=x2+alnx．
∴由1≤x≤e时，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立．
∵1≤x≤e，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴x-lnx＞0．
∴a≥

x2-2x

x-lnx

在1≤x≤e时恒成立．…（8分）
设h(x)=

x2-2x

x-lnx

（1≤x≤e），则h′(x)=

(2x-2)(x-lnx)-(x2-2x)(1- 1 x )

(x-lnx)2

=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

．
显然x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0．
所以h'（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴h(x)=

x2-2x

x-lnx

在[1，e]上为增函数．…（11分）
故h(x)max=h(e)=

e2-2e

e-1

．
所以实数a的取值范围是[

e2-2e

e-1

，+∞)．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．