Question

函数y=cos²x-2sinx的值域是

[-2，2]

．

Answer 1

分析：换元sinx=t，则函数化成y=（1-t²）-2t=-（t+1）²+2，其中t∈[-1，1]．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数y=cos²x-2sinx的值域．

解答：解：设sinx=t，则cos²x=1-t²，
∴y=cos²x-2sinx=（1-t²）-2t=-（t+1）²+2
∵t=sinx∈[-1，1]
∴当t=-1时，y_max=2；当t=1时，y_min=-2
因此，函数y=cos²x-2sinx的值域是[-2，2]
故答案为：[-2，2]

点评：本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．