Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足Sn=

n2

n2-1

Sn-1+

n

n+1

，且a1=

1

2

，n∈N*
（I）试求出S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）根据S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

S₁=a₁=

1

2

，
S₂=

4

3

S₁+

2

3

=

4

3

，
S₃=

9

8

S₂+

3

4

=

9

4

（Ⅱ）由（I）猜想Sn=

n2

n+1

①当n=1时，左边=S₁=a₁=

1

2

，右边=

12

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假设n=k时等式成立，即Sk=

k2

k+1

则当n=k+1时，左边=Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk+

k+1

k+2

=

(k+1)2

(k+1)2-1

•

k2

k+1

+

k+1

k+2

=

(k+1)2

k+2

即当n=k+1时，等式成立．
由①②可知，当时对任意正整数n都成立．