Question

设a>0，a≠1，解关于x的不等式

Answer 1

当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
当a>1时，原不等式的解集为  {x|－∞<x<＋∞}．．

本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．
解法一 原不等式可写成   ．              ①       ——1分
根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
(Ⅰ)当0<a<1时，由①式得
x⁴－2x²+a²<0，                                    ②             ——3分
由于0<a<1时，判别式
△=4－4a²>0,
所以②式等价于

③ ④

                                                ——5分

解③式得x<－或x>，
解④式得－<x<．                        ——7分
所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}．
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x⁴－2x²＋a²>0，                              ⑤                 ——9分
由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}．                                               ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
当a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}．
解法二 原不等式可写成 ．    ①                  ——1分
(Ⅰ) 当0<a<1时，由①式得
x⁴－2x²＋a²<0，                             ②                  ——3分
分解因式得  (x²－1＋)(x²－1－)<0． ③

④ ⑤

即                             

⑥⑦

或                                          ——5分

解由④、⑤组成的不等式组得
－<x<－．
或 <x< ．                            ——7分
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x⁴－2x²＋a²>0，                          ⑧                    ——9分
配方得  (x²－1)²＋a²－1>0，                  ⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}．                                              ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－<x<－}∪{x|<x<}；
当a>1时，原不等式的解集为  {x|－∞<x<＋∞}．