题目内容

已知f（x）=-x³+ax，其中a∈R．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a的取值范围；
（2）若 $数学公式$ ，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，求a的取值范围．

解：（1）f'（x）=-3x²+a
∵f（x）在（0，1）上是增函数
∴f'（x）=-3x²+a≥0，对于x∈（0，1）恒成立
∴a≥3x²恒成立．
∴a≥3…（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，且f（x）＜g（x）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 在（0，1）恒成立．…（8分）
∴ $\text{[math]}$ 在（0，1）恒成立．
构造函数 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ …（10分）
函数在 $\text{[math]}$ 上单调减，在 $\text{[math]}$ 上单调增
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）先求导函数，将f（x）在（0，1）上是增函数，转化为f'（x）=-3x²+a≥0，对于x∈（0，1）恒成立，分离参数可得a≥3x²恒成立，从而可求a的取值范围；
（2）根据 $\text{[math]}$ ，且f（x）＜g（x），从而转化为 $\text{[math]}$ 在（0，1）恒成立，分离参数可得 $\text{[math]}$ 在（0，1）恒成立．构造函数 $\text{[math]}$ ，可知函数在 $\text{[math]}$ 上单调减，在 $\text{[math]}$ 上单调增
，从而 $\text{[math]}$ ，故求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查函数恒成立问题，考查分离参数法求变量的取值范围，解题的关键是分离参数，利用求最值的方法，求参数的取值范围．