Question

函数y=log_ax（a＞0，a≠1）在区间[2，+∞）上恒有|y|＞1，则实数a的取值范围是

(

1

2

，1)∪(1，2)

．

Answer 1

分析：利用对数函数的单调性和特殊点，根据x≥2时，log_ax＞1 恒成立，分a＞1 和1＞a＞0两种情况，分别求出实数a的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：由题意可得，当x≥2时，|log_ax|＞1 恒成立．
若a＞1，函数y=log_ax 是增函数，不等式|log_ax|＞1 即 log_ax＞1，∴log_a2＞1=log_aa，解得 1＜a＜2．
若 1＞a＞0，函数y=log_ax 是减函数，函数y=log

1

a

x 是增函数，不等式|log_ax|＞1 即 log

1

a

x＞1．
∴有log

1

a

2＞1=log

1

a

1

a

，解得 1＜

1

a

＜2，解得

1

2

＜a＜1．
综上可得，实数a的取值范围是 (

1

2

，1)∪(1，2)，
故答案为 (

1

2

，1)∪(1，2)．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于基础题．