Question

（本小题满分12分）如图，矩形所在平面与平面垂直，，且，为上的动点.

(Ⅰ)当为的中点时，求证：；

(Ⅱ)若，在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为. 若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)根据已知条件当为中点时，，              

从而为等腰直角三角形，∴，同理可得，∴，

于是，再结合又平面平面，得到平面得到证明。 (2) 点在线段BC上距B点处

【解析】

试题分析：方法一：不妨设，则.

(Ⅰ)证明：当为中点时，，              

从而为等腰直角三角形，∴，

同理可得，∴，

于是，                        

又平面平面，

平面平面，

平面，  

∴ ，又，∴.………………6分

(Ⅱ)若线段上存在点,使二面角为。

过点作于,连接,由⑴ 所以

为二面角的平面角，

…………………………..8分

设, 则中，在中由，得,则,在中 ,所以,所以线段上存在点,当时，二面角为。                                       .12分

方法二：∵平面平面，平面平面，平面，

以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图.

(Ⅰ)不妨设，AB=1 

则，

从而，…………………………4分

于是，

所以所以  ………………………………6分

(Ⅱ)设，则，

.……………………………………8分

易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量，

则 即，解得，令则，，

从而，……………………………………………10分

依题意，即，

解得（舍去）， 

所以点在线段BC上距B点处..………………………………………12分

考点：本试题考查了线线垂直，二面角知识。

点评：解决该试题的关键是能熟练的运用已学的线面垂直的判定定理和性质定理来证明线线垂直，同时用平面的法向量来求解二面角的大小。属于中档题。