Question

已知函数f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的值域．

解答：解：函数f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1
=

3

（1+cos2x）+sin2x-

3

+1
=

3

cos2x+sin2x+1
=2sin（2x+

π

3

）+1，
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x+

π

3

）+1∈[0，3]，即f（x）的值域为[0，3]．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．