Question

设函数f(x)=

a

.

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，b=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈[-

π

4

，0]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量数量积的坐标运算公式，结合二倍角的三角公式化简整理，得f（x）═2sin（2x+

π

6

）+1．再根据正弦函数的单调区间的公式，解不等式可得函数f（x）的单调减区间；
（2）根据x∈[-

π

4

，0]易得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

6

]．结合正弦函数的图象与性质，得2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，

1

2

]，由此不难得到函数f（x）在区间[-

π

4

，0]的值域．

解答：解：（1）f(x)=

a

.

b

=2cos²x+

3

sin2x
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
因此，函数f（x）的单调减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z，
（2）当x∈[-

π

4

，0]时，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

π

6

]．
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，

1

2

]，得y=2sin（2x+

π

6

）+1∈[-

3

+1，2]
即函数f（x）在区间[-

π

4

，0]的值域是[-

3

+1，2]．

点评：本题以平面向量的坐标运算为载体，着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．