题目内容

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．设b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；　　
（2）若c₁=1， $数学公式$ ，求证：c_n＜3．

（1）解：设数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则 $\text{[math]}$ ，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n= $\text{[math]}$ =2ⁿ，则b_n= $\text{[math]}$ =n；
（2）证明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ③，
∴ $\text{[math]}$ c_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ④，
③-④得： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．
分析：（1）设出等比数列的公比，由已知条件列方程组求出等比数列的首项和公比，则等比数列{a_n}的通项公式可求，代入b_n=log₂a_n可求数列{b_n}的通项公式；
（2）把求出的a_n和b_n代入 $\text{[math]}$ ，把c_n写成c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁，各项代入后利用错位相减法求c_n，c_n求出后即可得到结论．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，属中档题．