Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+

1

an

=2S_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{S_n²}是等差数列；
（Ⅱ）求解关于n的不等式a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8；
（Ⅲ）记数列bn=2S_n³，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，证明：1-

1

n+1

＜T_n＜

3

2

-

1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1，化简得S_n²-S_n-1²=1．从而数列{S_n²}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）知S_n²=n，从而S_n+1²-S_n²＞4n-8，即1＞4n-8，故可解；
（Ⅲ）∵

1

bn

=

1

2n n

＜

1

n( n + n-1 )

＜

1

n-1

-

1

n

可以证明Tn＜

3

2

-

1

n

，同理可证1-

1

n+1

＜T_n

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+

1

an

=2S_n，∴a_n²+1=2a_nS_n．当n≥2时，（S_n-S_n-1）²+1=2（S_n-S_n-1）S_n，
化简得S_n²-S_n-1²=1．由a₁+

1

a1

=2a₁，得a₁²=S₁²．
∴数列{S_n²}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）知S_n²=n，又由a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8，得S_n+1²-S_n²＞4n-8，即1＞4n-8，∴n＜

9

4

．
又n∈N^*，∴不等式的解集为{1，2}
（Ⅲ）当n≥2时，∵

1

bn

=

1

2n n

＜

1

n( n + n-1 )

＜

1

n-1

-

1

n

，∴Tn＜

3

2

-

1

n

，
∵

1

bn

=

1

2n n

＞

1

n( n + n+1 )

＜

1

n

-

1

n+1

，∴Tn＞1-

1

n+1

∴1-

1

n+1

＜T_n＜

3

2

-

1

n

．

点评：本题主要考查等差数列的证明，解不等式，要注意数列的特殊性，对于不等式的证明，利用了放缩法，有一定的技巧．