Question

用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

解：设容器底面宽为xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.

由解得0<x<1.6，

设容器的容积为ym³，则有

y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x³＋2.2x²＋1.6x（0<x<1.6） y′＝－6x²＋4.4x＋1.6， 令y′＝0，即－6x²＋4.4x＋1.6＝0，

解得x＝1，或x＝－(舍去)．

∵0<x<1时，y′>0；1<x<1.6时，y′<0.

∴在定义域(0,1.6)内x＝1是唯一的极值点，且是极大值点，

∴当x＝1时，y取得最大值为1.8.  

此时容器的高为3.2－2＝1.2m.  

答：容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m³.