Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，满足x₁∈（-1，1），x₂∈（1，4），则2a+b的取值范围是（　　）

A．（-6，-4）

B．（-6，-1）

C．（-10，-6）

D．（-10，-1）

Answer 1

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答：解：∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，
∴x₁，x₂是导函数f′（x）=x²+ax+b的两根
由于导函数f′（x）=x²+ax+b的图象开口朝上且x₁∈（-1，1），x₂∈（1，4），
则

f′(-1)=1-a  +b＞0 f′(1)=1+a  +b＜0 f′(4)=16+4a  +b＞0

满足条件的约束条件的可行域如下图所示：
令Z=2a+b，则Z_A=-1，Z_B=-6，Z_C=-10，
故2a+b的取值范围是（-10，-1）
故选D

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．