题目内容
【题目】在四棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形，
，
，
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取
中点
，连结
，
，证明四边形
为平行四边形得到答案.
（2）证明
平面
，如图建立空间直角坐标系，平面
的法向量
，面
的法向量
，计算夹角得到答案.
（1）取中点，连结，.
因为
为
中点，所以
，
.
因为
，
.所以
且
.
所以四边形为平行四边形，所以
.
因为
平面
，
平面，
所以
平面.
（2）取
中点
，连结
.因为
，所以
.
因为平面
平面，平面
平面
，
平面，
所以平面，取
中点
，连结
，
则
.以为原点，如图建立空间直角坐标系，
由
，则
，
，
，
，
，
，
.平面的法向量，
设平面的法向量
，由
，得
.
令
，则，
.由图可知，
二面角
是锐二面角，所以二面角的余弦值为.
【题目】推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：
得分 | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
男性人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 | 比较了解 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为
，求的分布列和期望．
附：
．
临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
