Question

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，
（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x²+y²=b²，
∴b=c，
∴，
∴，
∴；
（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）设，则，
整理得，
，
∴PA方程为：，
PB方程为：，
∴，
∴，
直线AB方程为，
令x=0，得，令y=0，得，
∴，
∴为定值，定值是。