Question

已知递增的等比数列{a_n}，前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：根据前三项之积为512，利用等比数列性质算出a₂=8．设公比为q，由a₁-1、a₂-3、a₃-9成等差数列，建立关于q的方程并解出q的值，再根据等比数列的通项公式加以计算，可得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵等比数列{a_n}的前三项之积为512，∴a₁a₂a₃=

a2

q

•a₂•a₂q=（a₂）³=512，解之得a₂=8
又∵这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，
∴a₁-1、a₂-3、a₃-9成等差数列，得（a₁-1）+（a₃-9）=2（a₂-3）
即：

a2

q

-1+a₂q-9=2a₂-6，即

8

q

+8q-10=10
化简得2q²-5q+2=0，解得q=2或q=

1

2

，
∵等比数列{a_n}是递增，可得q＞1，
∴q=2，得a₁=

a2

q

=4，可得等比数列通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹．

点评：本题给出等比数列满足的条件，求它的通项公式，着重考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质和等差中项的定义等知识，属于中档题．