题目内容
已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若以
为斜率的直线
与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围．
解：（Ⅰ）设双曲线
的方程为
，由题设得
解得
所以双曲线的方程为
．
（Ⅱ）设直线
的方程为
，点
，
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是
，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足
，
．
从而线段的垂直平分线的方程为
．
此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
．由题设可得
。
整理得
，
．
将上式代入③式得
，
整理得
，．
解得
或
．
所以
的取值范围是
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