Question

（03年北京卷理）（13分）

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.

   （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；

   （Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.

        （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

        （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

Answer 1

解析: （Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为

消y得

所以A点坐标为，B点坐标为（3，），

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

①   ②

   

由①－②得

但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：

设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

由，

即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，故.

又，

  ，    .

   当，即，

 即为钝角.

 当，即，

即为钝角.

 又，即，

 即.   该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.

 解法二：

 以AB为直径的圆的方程为.

 圆心到直线的距离为，

 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G.

 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G

 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

 过点A且与AB垂直的直线方程为.

 过点B且与AB垂直的直线方程为. 令.

 又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，不构成三角形.

 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是