Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G。

（I）证明：AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）设AB=2AA₁=2a。在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A₁B₁，B₁B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

Answer 1

解：（I）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥A1D1 又∵EH∥A1D ∴AD∥EH ∵AD平面EFGH，EH平面EFGH ∴AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）设BC=b，则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB· AD·AA1=2a2b，几何体EB1F-HC1G的体积V1= 当且仅当时等号成立 从而 故 当且仅当等号成立 所以p的最小值等于。