Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足(p-1)Sn=p2-an，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=logpan(n∈N*)，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题可得(p-1)an=(p-1)(Sn-Sn-1)=p2-an-(p2-an-1)=an-1-an（n≥2），整理得pa_n=a_n-1，判定为等比数列，求出a₁后，即可求出通项公式．
（2）bn=logpan=logp(

1

p

)n-2=2-n，易知从第三项起为负数，或求出Tn不等式从函数角度求最值．

解答：解：（1）由题可得：(p-1)an=(p-1)(Sn-Sn-1)=p2-an-(p2-an-1)=an-1-an，
整理得：pa_n=a_n-1，∵p＞0．
∴

an

an-1

=

1

p

，又(p-1)S1=p2-a1，可得a₁=p，
所以数列{a_n}是以

1

p

为首项，以p为公比的等比数列，
通项公式an=p•(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）bn=logpan=logp(

1

p

)n-2=2-n，
（方法一）由b_n=2-n≥0⇒n≤2，即当n=1或2时，T_n有最大值1．
（方法二）T_n=（2-1）+（2-2）+…+（2-n）=2n-（1+2+…n）=2n-

n(1+n)

2

=

-n2+3n

2

=-

1

2

(n-

3

2

)2+

9

8

即当n=1或2时，T_n有最大值1．

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解．考查变形构造，转化、计算能力．