题目内容
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1的图象为D.(1)当a=b=3时,过D上的点P(t,f(t))(-1＜t＜0)作D的切线与x轴、y轴分别交于A、B,求△ABO面积的最大值(O为坐标原点);
(2)当a=0时,D与x轴有三个不同的交点,试求b的取值范围.
解:(1)∵f(x)=(x+1)3,∴f′(x)=3(x+1)2.故过P的切线方程为y-(t+1)3=3(t+1)2(x-t).
它在两坐标轴上的截距分别为y0=(1+t)3-3t(1+t)2=(1+t)2(1-2t)，
x0=t
.故S△ABO=
|(1+t)2·(1-2t)·
|
=
［（2+2t)(1-2t)］2≤
.(
)4=
.当t=
时取等号.
故S△ABO的最大值为
.
(2)a=0时,f(x)=x3+bx+1,f′(x)=3x2+b,
b≥0时,f′(x)≥0,y=f(x)为增函数,D与x轴只有一个交点,结论不成立.
b＜0时,令f′(x)=0.求得x=
时,f(x)极大值=f(
)=
+1.
x=
时,f(x)极小值=f(
)=
+1.
图象D与x轴有三个不同的交点
b3+1＜0
b＜
.
因此b的取值范围是(-∞,
).
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